位置编码的具体计算方式（公式解释）

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公式 (10.6.2) 描述了位置编码的具体计算方式，这种位置编码基于正弦和余弦函数，用于在自注意力机制中引入位置信息。下面我们详细解释公式和代码。

公式 (10.6.2)

公式 (10.6.2) 的目的是为输入序列中的每个词元添加一个位置编码，以保留序列的位置信息：

[
\begin{split}
\begin{aligned}
p_{i, 2j} &= \sin\left(\frac{i}{10000^{2j/d}}\right), \
p_{i, 2j+1} &= \cos\left(\frac{i}{10000^{2j/d}}\right).
\end{aligned}
\end{split}
]

这里：

( p_{i, 2j} ) 是位置编码矩阵 (\mathbf{P}) 的第 (i) 行、第 (2j) 列的元素。
( p_{i, 2j+1} ) 是位置编码矩阵 (\mathbf{P}) 的第 (i) 行、第 (2j+1) 列的元素。
( i ) 表示词元在序列中的位置。
( j ) 表示编码维度的索引。
( d ) 是词元向量的维度。

这些位置编码使用不同频率的正弦和余弦函数，较小的频率用于较低的维度，较大的频率用于较高的维度。

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让我们详细解释一下为什么在公式 (10.6.2) 中使用 ( i ) 和 ( 2j )，为什么是 ( 10000^{2j/d} )，以及为什么选择正弦和余弦函数。

1. 为什么是 ( i ) 和 ( 2j )

( i ): 表示词元在序列中的位置。
( 2j ) 和 ( 2j+1 ): 表示编码维度的索引。位置编码矩阵的每个词元的每个维度都有两个值，一个是正弦函数值，另一个是余弦函数值。

在位置编码矩阵中，维度 ( 2j ) 存储正弦函数值，维度 ( 2j+1 ) 存储余弦函数值。这种交替存储方式允许位置编码同时捕捉到不同频率的周期信息。

2. 为什么是 ( 10000^{2j/d} )

( 10000^{2j/d} ): 这是一个缩放因子，确保不同维度的频率不同。具体来说，随着 ( j ) 的增加，频率会指数级地增加。
- 当 ( j ) 较小时， ( \frac{2j}{d} ) 也较小，这意味着 ( 10000^{2j/d} ) 较小，从而使 ( \frac{i}{10000^{2j/d}} ) 较大，结果是低频率。
- 当 ( j ) 较大时， ( \frac{2j}{d} ) 也较大，这意味着 ( 10000^{2j/d} ) 较大，从而使 ( \frac{i}{10000^{2j/d}} ) 较小，结果是高频率。

这种设计保证了不同维度上位置编码的频率不同，从而捕捉到多种粒度的位置信息。

3. 为什么选择正弦和余弦函数

选择正弦和余弦函数的主要原因是它们的周期性和相位特性。这些函数可以捕捉到序列中的相对位置关系：